Funzione

Il concetto di funzione basilare in quasi tutti i settori della matematica e delle sue applicazioni. E' un tipo particolare di relazione matematica, che pu essere considerato un modo di associare ad ogni elemento di un insieme A un elemento e uno solo dell'insieme B. 

Per esempio se A l'insieme (1, 2, 3) e B l'insieme dei quadrati degli elementi di A (1, 4, 9), allora si pu associare ad ogni elemento dell'insieme A il suo quadrato nell'insieme B. Le funzioni vengono spesso dette "applicazioni". I matematici usano il termine "f applica da 1 in A a 1 in B" e simili. Dato un elemento a di A, l'elemento b di B determinato da f indicato con f(a) (che si legge "f di a") e viene detto immagine. Cos nell'esempio di prima, f(1) = 1, f(2) = 4, e f(3) = 9. L'insieme A che viene trasformato da f detto dominio di f, e l'insieme B, che l'insieme di tutti gli f(a) con a in A, detto codominio di f. Cos nell'esempio precedente il dominio di f (1, 2, 3), e il codominio di f (1, 4, 9). 

Le funzioni sono spesso definite attraverso equazioni. Cos si pu scrivere la funzione dall'esempio precedente come x -- x o come f:f(x) = x, o come la funzione f tale che f(x) = x. Altri esempi di funzione sono i seguenti: C(r) = 2 pi greco r (la circonferenza del cerchio di raggio r); s(t) = 980 t (distanza in centimetri che un corpo in caduta libera percorre in t secondi); r(x) = radice di x (lunghezza del lato del quadrato la cui area x). Per le funzioni C e r, il dominio deve essere considerato l'insieme dei numeri positivi, poich non avrebbe senso parlare per esempio di un cerchio di raggio -1. Per la funzione s il dominio l'insieme dei numeri non negativi, cio dei numeri positivi e dello zero. 

Non assolutamente necessario, tuttavia, che le funzioni siano definite mediante un'equazione. Per esempio, si consideri che il dominio di f sia l'insieme dei numeri naturali, 1, 2, 3, 4, ..., e si definisca f(a) = 0 se a dispari e f(a) = 1 se a pari. Allora, per esempio, f(1) = f(3) = f(5) = 0, e f(2) = f(4) = f(6) = 1. Il campo di f quindi (0, 1). 

Non necessario che il dominio o il codominio di una funzione siano insiemi numerici. Ad esempio, sia T l'insieme di tutti i triangoli e f associ ad ogni triangolo la sua area. Allora f una funzione il cui dominio T e il cui codominio l'insieme di tutti i numeri reali positivi. Come altro esempio sia T ancora l'insieme di tutti i triangoli ed r associ ad ogni triangolo t la sua immagine speculare rispetto ad una retta L del piano, come mostrato nella figura 2. Allora il codominio di r ancora T. 

Ogni funzione f con dominio D e codominio R determina un insieme di coppie ordinate (a, f(a)), dove a in D ed f(a) in R. Quindi, per f:f(x) = x con D = (1, 2, 3), si ottiene l'insieme F di coppie ordinate (1, ((1, 1), (2, 4), (3, 9)). Tuttavia, non tutti gli insiemi di coppie ordinate definiscono una funzione. Per esempio, supponiamo che l'insieme di coppie ordinate sia ((1, 1), (1, 2)). Questo semplicemente impossibile, poich una funzione deve associare ad ogni elemento nel suo dominio un elemento e uno solo del suo codominio. Sebbene non tutti gli insiemi di coppie ordinate descrivano una funzione, ogni insieme di coppie ordinate detto relazione. 

FUNZIONE ESPONENZIALE

Le funzioni esponenziali si trovano in molte applicazioni, per esempio nel problema dell'interesse composto. Se 1000 lire vengono investite al 12% di interesse annuo composto, in un anno di tempo esse diventano 1120 lire e, continuando a crescere, saranno pari a (1120) alla n-esima potenza lire alla fine dell'n-esimo anno. In molte applicazioni si prende il numero e per base (v. e). 

FUNZIONE IPERBOLICA

Le funzioni iperboliche sono sei funzioni tutte legate alla funzione esponenziale. Geometricamente, le funzioni iperboliche sono legate all'iperbole, proprio come le funzioni trigonometriche (circolari), che formano l'oggetto della trigonometria, sono legate alla circonferenza. 

FUNZIONE PERIODICA

Una funzione si dice periodica con periodo p se f(x) = f(x + p) qualunque sia il valore di x. Il massimo valore assoluto assunto da f(x) detto ampiezza e 1/p la frequenza cio il numero di ripetizioni della forma della curva periodica rappresentativa di f(x) per unit di lunghezza. Tutte e sei le funzioni circolari, o trigonometriche, sono periodiche. Il seno, il coseno, la secante e la cosecante sono funzioni dell'angolo (theta + 2n pi greco) che hanno valori che si ripetono per n = 0, 1, 2, 3, 4, e cos via. La tangente e la cotangente hanno valori che si ripetono per n = 0, 1/2, 1, 1 + 1/2, e cos via. Le funzioni seno e coseno possono essere usate per rappresentare moti armonici semplici di sistemi oscillanti, come molle o onde elettromagnetiche. Qualunque funzione periodica di periodo 2 pi greco pu essere espressa come una serie trigonometrica infinita nota come serie di Fourier (v. Fourier, analisi di). Quando l'andamento della posizione in funzione del tempo descritto da una funzione periodica il moto detto periodico, o armonico (v. moto). 

FUNZIONE QUADRATICA

Una espressione algebrica di secondo grado detta espressione o funzione quadratica. Essa un polinomio in cui il termine di grado pi elevato quadratico, cio ha per esponente 2. Se la funzione quadratica viene uguagliata a zero si ha un'equazione quadratica. Nella sua forma standard questa data da ax + bx + c = 0. Le soluzioni, o radici, di questa equazione sono date dalla formula quadratica nella quale compare l'espressione b - 4ac, detta discriminante dell'equazione. 

FUNZIONE TRASCENDENTE

Una funzione trascendente una funzione che non una radice di una equazione polinomiale. Funzioni di questo tipo si trovano frequentemente nella matematica e nelle scienze. Una funzione che sia radice di un'equazione polinomiale una funzione algebrica; tutte le altre funzioni sono dette trascendenti. L'importanza delle funzioni trascendenti consiste nel fatto che la maggior parte delle funzioni che descrivono fenomeni naturali sono trascendenti. Le sei funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, secante, cosecante e cotangente, per esempio, sono funzioni trascendenti, come pure sono trascendenti la funzione logaritmica, la funzione esponenziale e le funzioni iperboliche. 

Copyright 2002 Motta Editore


Questa pagina stata realizzata da Vittorio Villasmunta

Ultimo aggiornamento: 29/11/14