Numeri 

Un numero è un'invenzione dell'uomo causata dalla necessità di dare una misura alle cose. 

I popoli primitivi avevano solo un concetto molto grossolano di numero. Il crescente raffinamento ha richiesto un'idea sempre più larga di quello che è un numero. Ciò ha portato spesso a controversie, alcune delle quali si riflettono nella terminologia scelta come, per esempio, numeri irrazionali e numeri immaginari. La capacità di contare iniziò distinguendo tre soli valori: 1, 2, molti; essa lentamente si è evoluta finché i numeri consistettero di 1, 2, 3, 4, ... ossia di quello che noi chiamiamo i numeri naturali o interi positivi. Tali numeri descrivono quanti elementi ci sono in un insieme di oggetti e sono detti numeri cardinali. Una successione di numeri associata ai numeri cardinali è quella di numeri ordinali, che descrive come gli elementi dell'insieme sono ordinati, cioè come sono posizionati: per esempio, primo (I), secondo (II), terzo (III) e quarto (IV). 

Con il progredire del grado di civiltà divenne necessario misurare parti delle cose. Inizialmente il concetto di frazione fu evitato dividendo le unità esistenti in unità più piccole, come la divisione di un'ora in 60 minuti. A partire dal 1500 a.C., tuttavia, gli Egizi (e forse i Babilonesi prima di loro) svilupparono l'uso delle frazioni, o dei numeri razionali positivi. La matematica progrediva e fu iniziato uno studio sistematico della geometria. Il possedere teoremi matematici precisi per la misura di oggetti geometrici astratti si dimostrò estremamente utile nelle costruzioni e in vari arti. In particolare, i Greci scoprirono, per mezzo del teorema di Pitagora, che in un quadrato con i lati di lunghezza uno la lunghezza della diagonale d è un numero il cui quadrato è due (d² = 2). All'inizio essi tentarono di trovare un numero razionale il cui quadrato fosse due, ma alla fine dimostrarono (intorno al 460 a.C.) che d = radice di 2 non è razionale. Il concetto di numero allora dovette essere esteso per comprendere questi numeri irrazionali. 

Un altro numero misterioso nasce in maniera naturale: si tratta di pi greco, rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro. I greci non furono capaci di decidere se pi greco fosse o meno razionale, ma nel 1761 fu dimostrato da Johann Lambert che esso è irrazionale. Nel contempo cominciò a emergere l'idea dei numeri negativi (in Cina intorno al 200 a.C. e più tardi nel mondo occidentale), ma il concetto di numero non fu allargato realmente fino a includere i numeri negativi fino al sec. XVI. Il concetto di zero fece la sua comparsa intorno al sec. IX in India (e indipendentemente nella cultura maya). Esso fu usato inizialmente come un indicatore di posizione nella notazione numerica e fu alla base dello sviluppo del sistema di numerazione indo-arabo, ancora in uso. Con l'invenzione dei "procedimenti infiniti" usati nel calcolo infinitesimale, e con l'uso dei decimali, il concetto di numero poté essere esteso ulteriormente per comprendere tutti i decimali infiniti. 

Questo allargamento era lecito? O i soli numeri possibili erano le radici di equazioni polinomiali (numeri algebrici)? Nel 1851 Joseph Liouville dimostrò che esistono altri tipi di numeri, e nel 1873 Georg Cantor mostrò che in un certo senso quasi tutti i numeri sono numeri trascendenti, cioè non sono algebrici. Inoltre, fu provato che pi greco è un numero trascendente. Il concetto di numero sta ancora estendendosi. Molto presto si capì che radice di -1 non è un numero nel senso più usuale del termine. Ciò ha portato ai numeri immaginari puri e ai numeri complessi. Inoltre sono stati inventati i quaternioni e altri tipi di numeri. Nella matematica moderna vengono inventati via via altri tipi di numeri, come a esempio gli infinitesimi usati nell'analisi non standard. 

Numeri decimali

Un numero decimale è un numero frazionato che ha per denominatore una potenza di 10, e cioè 10, 100, 1000 ecc. La notazione per queste frazioni può essere abbreviata con l'uso della virgola decimale al posto dell'uso del denominatore. Il numero di cifre a destra della virgola è uguale all'esponente di 10 nel denominatore della frazione decimale corrispondente. 

Numeri razionali

Un numero razionale viene definito come il quoziente di un numero intero e un numero intero non nullo; cioè è un numero che può essere scritto in forma di frazione. 

Per esempio, 3/2, -2/3 e 1072/83 sono tutti numeri razionali, come pure lo sono 0 = 0/1, 1 = 1/1, 2 = 2/1 e così via. 

Ogni intero n è uguale a n/1 e quindi è un numero razionale. 

Dato un numero razionale a/b, a è detto numeratore e b denominatore. Ogni numero razionale ha più rappresentazioni come quoziente di due interi: 2/3 = 6/9 = 8/12 = 18/27. La frazione a/b è detta ridotta, o ai minimi termini, se gli interi a e b non hanno fattori comuni (nell'esempio precedente, 2/3 è ai minimi termini). 

Due numeri razionali a/b e c/d sono uguali purché ad = bc. 

Tutti i calcoli numerici eseguiti normalmente (o con i calcolatori) sono in realtà fatti con numeri razionali. Tutti i numeri irrazionali con cui si ha a che fare vengono alla fine approssimati da numeri razionali per i calcoli numerici. 

Numeri irrazionali

Un numero irrazionale è un numero non razionale, cioè non esprimibile come rapporto tra due interi. La decisione se un numero è irrazionale o no è un problema che ha impiegato i matematici in tutte le epoche a partire dai Greci nel sec. XV a.C. 

I numeri irrazionali sono divisi in due classi: i numeri algebrici e quelli non algebrici, detti trascendenti

Numeri reali

L'insieme di tutti i numeri razionali e di tutti i numeri irrazionali costituisce l'insieme dei numeri reali. Ogni numero razionale a/b, dove a e b sono interi e b diverso da 0, possono venire scritti sia come un decimale con un numero finito di cifre che come un decimale periodico. 

Per esempio, 2 = 2,0, -3 = -3,0, 5/2 = 2,5 e -1/4 = -0,25 sono tutti numeri razionali che possono essere scritti con un numero finito di cifre. Invece, 1/3 = 0,333.... e 2/7 = 0,285714285714... sono esempi di decimali periodici. Cioè, nella rappresentazione decimale di 1/3, il numero 3 viene ripetuto indefinitamente; nello stesso modo, la sequenza di numeri 285714 si ripete nel decimale 2/7. 

Viceversa, si può dimostrare che ogni decimale con un numero finito di cifre, o periodico, è uguale a un numero razionale. Quindi l'insieme dei numeri razionali è uguale all'insieme dei decimali con un numero finito di cifre, o periodici. E' possibile invece scrivere numeri decimali che non hanno cifre in numero finito e che non sono periodici. Un numero di questo tipo è 0,123456789101112131415... in cui sono stati scritti i numeri naturali 1, 2, 3, 4, ... uno dopo l'altro. Un altro è 5,101001000100001000001... dove gli zeri inseriti tra le cifre uno aumentano di un'unità passando da un gruppo al successivo. Numeri rappresentabili da decimali senza termine e non periodici sono numeri irrazionali; per esempio radice di 2, radice cubica di 5 e pi greco. Quindi l'insieme dei numeri reali può essere descritto come l'insieme di tutti i decimali, con numero finito di cifre, periodici e con numero indefinito di cifre. 

Numeri complessi

Un numero complesso è un numero che può essere scritto nella forma a + ib, dove a e b sono numeri reali e i è definito come radice di -1. 

La conoscenza e l'uso dei numeri complessi sono essenziali in molti settori della scienza e dell'ingegneria specialmente per la soluzione di molte equazioni differenziali che si incontrano in questi settori. La necessità dei numeri complessi nacque nello studio della soluzione delle equazioni algebriche. I numeri negativi sono necessari per risolvere equazioni come x + 4 = 3, che ha per soluzione -1; le frazioni per risolvere equazioni come 2x = 2, che ha per soluzione 3/2; i numeri irrazionali per risolvere equazioni come x² = 2, che ha per soluzioni radice di 2 e - radice di 2. Nello stesso modo i numeri complessi sono necessari per risolvere equazioni del tipo x² + 1 = 0 perché non ci sono soluzioni nel campo nei numeri reali per questa equazione. In questo esempio particolare è x² = 0 qualunque sia il numero reale x, e quindi x² + 1 = 1 per qualsiasi numero reale x. Poiché non ci sono soluzioni reali è stato inventato un nuovo numero, i, tale che i² = -1 e quindi i² + 1 = 0. Poiché l'equazione x² = 2 ha per soluzione x = radice di 2 per analogia la soluzione di i² = -1 si scrive i = radice di -1. Se b viene posto uguale a zero, il numero complesso a + ib si riduce al numero reale a; quindi i numeri reali sono un caso particolare dei numeri complessi. Invece, ponendo a = 0 in a + ib si ottengono numeri complessi della forma 0 + ib, o semplicemente ib, che si chiamano spesso immaginari puri, nome che trae origine dal periodo in cui i numeri complessi non erano ancora stati accettati. I numeri complessi possono essere rappresentati come punti su un piano coordinato in cui l'asse orizzontale è l'asse dei numeri reali (asse reale) e l'asse verticale è l'asse degli immaginari puri (asse immaginaria), come mostrato nella figura per il numero 2 + i3. 

Tale rappresentazione è nota come diagramma di Argand, dal nome del suo inventore, il matematico svizzero francese Jean Robert Argand (1768-1822). I numeri complessi furono introdotti dal matematico italiano Raffaele Bombelli (c. 1526-1573), ma solamente in un modo molto casuale. Tali numeri iniziarono a giocare un ruolo significativo nella matematica solo più di 100 anni più tardi. 

Numeri algebrici e trascendenti

Si chiamano numeri algebrici le soluzioni delle equazioni algebriche a coefficienti razionali. I numeri che non sono algebrici si dicono trascendenti. Essi non sono soluzioni di equazioni algebriche. 

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Questa pagina è stata realizzata da Vittorio Villasmunta

Ultimo aggiornamento: 28/05/14